ファクトリオン

数学において、ファクトリオン(英: factorion)とは、各桁の数字の階乗の和がその数自身となる自然数である。例えば、145は、1! 4! 5! = 1 24 120 = 145であるためファクトリオンである。

十進法では、ファクトリオンは、1、2、145、40585(オンライン整数列大辞典の数列 A014080)の4つのみである。

ファクトリオン、という名称は、Clifford A. Pickoverが彼の著書、Keys to Infinity の22章、"The Loneliness of the Factorions"で用いた。

上限

nをd桁の自然数であるファクトリオンとすると、10^d − 1 ≤ n ≤ 9!d(ただし9!dは9!とdの積の意である)が成り立たなければならない。しかしこれは、d ≥ 8に対し成り立たず、nは最大で7桁であることが分かるため、最初の上限として、9999999が分かる。しかし、7桁の数の各桁の階乗の和は、9!*7 = 2540160なので、2番目の上限は2540160となる。さらに、9!6 = 2177280であり、6つの9があり、2540160より大きくない7桁の自然数は、1999999である。これは、調べれば分かる通りファクトリオンではない。次の最大の和は、1999998である。同様の手順で、次の上限は1854721と分かる。

他の基数

十進法以外にも定義が拡張されている場合、ファクトリオンは無限に存在する。これの例として、任意のn > 3 である自然数に対し、n! 1 と n! 2は(n-1)!進法でファクトリオンであり、2桁で"n1"、"n2"と書かれる。例えば、25と26は六進法でファクトリオンであり、"41"、"42"と書かれる。また、121と122は二十四進法でファクトリオンであり、"51"、"52"と書かれる。

n > 2に対し、n! 1はさらに(n! - n 1)進法でもファクトリオンであり、2桁で"1n"と書かれる。例えば、25は二十一進法でファクトリオンであり、"14"とかかれる。また、121は百十六進法でファクトリオンであり、"15"と書かれる。

全ての自然数は一進法でファクトリオンであり、1と2は全ての記数法でファクトリオンである。

次の表は、三十進法までのファクトリオンの一覧である。

オンライン整数列大辞典の数列 A193163